１ 引言
制定科学的库存策略是物流中供应链管理的关键因素之一。目前大多数文献认为需求是确定的１－５对库存的研究使用的是数学分析的方法。但供应链中往往由于不可预知事件的存在导致需求的不确定性，此时需求量和需求到达时间往往必须作为随机变量来考虑。这就需要用随机性系统的有效分析技术——系统仿真的方法来研究。供应链中销售商的库存来自于订货，库存量根据时间上离散的订货到达事件和需求到达事件而改变，因此是离散事件系统；而制造商的库存更为复杂：其库存来自于本企业的生产，因此库存量不仅因需求到达事件而变化，而且库存量还因本企业的生产而随时间呈连续变化，因此生产－库存系统属于复杂的离散－连续系统。为了控制生产－库存的成本，必须维持合理的库存水平，故供应商应根据库存情况来调节生产速率。本文基于系统仿真原理６，为供应链中的制造商建立了需求随机的、生产速率多级可调的生产－库存系统模型，并开发出相应的仿真软件。
提前期是反映物流中服务质量的重要指标。企业有必要兼顾顾客的要求，通过适当增加库存成本来缩短提前期５。但目前的许多文献忽略了提前期的计算２３。此外，顾客的重要性和对缺货的等待时间的要求往往不相同，这就需要制造商区分顾客的优先级来供货，这也是目前多数文献没有考虑到的一个实际问题２－５。本文在仿真模型中，为不同优先级的顾客分别建立相应的缺货队列，从而可对生产－库存系统进行更接近现实的动态仿真。所开发的仿真软件以生产速率发生突变的临界库存量为决策变量，通过仿真求得各种决策的库存费用和提前期，从而选出最优决策。
２ 生产－库存策略
本文中需求量Ｄ和相邻两次需求到达的时间间隔均为随机变量。制造商根据目前的库存水平来决定生产速率Ｐ 生产速率分为Ｋ级，参见图１：
（１）当库存＜Ｉｎｖ０，则Ｐ＝Ｖ０；
（２）当Ｉｎｖｉ－１＜库存＜Ｉｎｖｉ，则Ｐ＝Ｖｉ 式中０＜ｉ＜Ｋ－１；
（３）当库存Ｉｎｖｅｎ＝ＩｎｖＫ－１，则Ｐ＝０。
其中Ｉｎｖｉ是决定生产速率的临界库存，Ｖｉ是相应阶段的生产速率，Ｖ０＞Ｖ１＞…＞ＶＫ－１。生产的产品立即入库。需求到达时，如果此时的库存大于需求量，则立即供货；否则库存处于缺货状态即负库存。当有多个顾客的需求未满足时，首先为优先级高的顾客补货。同时，每次需求到达后，检查库存所处的生产阶段，从而调整生产速率。由于改变生产速率需要消耗一定成本，如果原来处于停产状态，为了避免稍有需求就立即恢复生产，故规定当库存降至恢复生产点Ｒｅｐｒｏ之下时才恢复生产。
生产－库存费用包括有保管费Ｃｈ、缺货费Ｃｓ和生产费 Ｃｚ７：
Ｃｈ＝ｈＩ＋（ｔ）ｄｔ⑴
Ｃｓ＝πＩ－（ｔ）ｄｔ⑵
Ｃｚ＝ｚＰ（ｔ）ｄｔ＋ｃ×Ｃｈｇ⑶
其中ｈ和π分别是每件产品每天的保管费和缺货损失费， Ｉ＋ｔ、Ｉ－ｔ分别是ｔ时刻实际库存量和缺货量，Ｐｔ是ｔ时刻生产速率，Ｐ（ｔ）ｄｔ是仿真时间０Ｔ内总生产量（记为ＳＰ），ｚ是每件产品的生产成本Ｃｈｇ是改变生产速率的次数，ｃ是每次改变速率的成本。
“提前期”除了包括运输时间之外，主要由制造商不能及时供货而造成的顾客等待补货时间所引起１５。本文中“提前期”是指因缺货引起的顾客等待补货的时间。对应于第ｉ次需求到达事件的提前期Δｔｉ是指该次需求到达时间与该需求全部得到满足的时间间隔。显然Δｔ随缺货量的增加而增大。本文定义两类顾客的平均提前期ｐｒｅ分别为该类顾客需求一件产品的平均等待时间，即：
ｐｒｅ＝（Δｔｉ ／ Ｄｉ）（４）
其中Ｄｉ为第ｉ个该类顾客的需求量，Δｔｉ ／ Ｄｉ即为该顾客的提前期，ｎ为该类顾客的总个数。
顾客分为高优先级和低优先级两类。当库存处于缺货状态时，到达的顾客排到相应的缺货队列的队尾。
３ 仿真策略和仿真模型
３．１ 仿真策略
该系统有两个状态变量—库存量Ｉｎｖｅｎ和生产速率Ｐ。在离散的时间点上发生两类事件—需求到达事件和减速事件。由图１可知：当减速事件发生时Ｐ发生瞬间改变。当需求到达事件发生时，Ｉｎｖｅｎ发生瞬间变化；如果库存减少至另一生产阶段，则Ｐ也发生瞬间变化。两次相邻事件间随着生产Ｉｎｖｅｎ发生连续变化。因此该系统是离散－连续系统。但库存的连续性变化是线性的，故本文采取的仿真策略是：根据上次事件发生时刻（记为ｔｌａｓｔ）的库存Ｉｌａｓｔ和Ｐ来求出当前库存Ｉｎｖｅｎ的值：
Ｉｎｖｅｎ＝Ｉｌａｓｔ＋Ｐ×ｔｉｍｅ－ｔｌａｓｔ ５
故该系统可以用离散事件系统仿真的方法进行仿真。
仿真时钟ｔｉｍｅ（表示仿真时间内的当前值的变量）是随仿真的进程而不断更新的时间推进机构。本文采用下次事件时间推进法作为仿真时钟的推进方法，即每次把仿真时钟推进到下一个事件发生的时刻，在该时刻系统的状态发生改变。再把仿真时钟推进到再下一个事件发生的时刻……，直至符合设定的终止条件时为止。
未来发生的事件放入事件表用链表实现中，减速事件有四个参数：发生时间、事件类型、事件发生时的库存量和事件发生后的生产速率。需求到达事件亦有四个参数：发生时间、事件类型、需求量和优先级。事件按其发生时间插入事件表，使事件表保持按事件的时间升序排列。
除了初始事件（即第一次需求到达事件和第一次可能发生的减速事件）是在仿真前确定之外其他事件都是在仿真过程中策划故应在仿真中策划未来事件即确定未来事件的属性并按其发生时间插入事件表中。本文在需求事件发生时策划下次需求事件：通过随机抽样得到需求量Ｄ和两次需求的时间间隔Ｔｉｎｔ下次需求事件发生的时间ｔ即为ｔｉｍｅ＋Ｔｉｎｔ。在需求到达事件和减速事件发生时均要策划减速事件：设目前生产速率为Ｐ，库存量所处阶段为ｋ，则下次可能发生的减速事件发生的时间Ｔ１为：
Ｔ１＝Ｉｎｖｋ－ＩｎｖｅｎＰ ＋ｔｉｍｅ ６
如果Ｔ１＜下次需求到达事件发生的时间（即减速事件发生在下次需求到达事件之前），则将该减速事件插入事件表（减速事件发生时的库存为Ｉｎｖｋ）；否则表示减速事件发生在下次需求到达之后，因需求到达时会导致库存量下降，需要重新确定库存所处阶段，因此减速事件不一定在预期的Ｔ１时刻发生，故不将减速事件插入事件表。
两个优先级的缺货队列（分别用二维数组描述）各有三个参数：需求到达时间ｔａｒｒｉｖｅ、需求量Ｄ、缺货量Ｓｈｔ。
当需求到达时，如果库存从正降为负（即Ｉｌａｓｔ＞０Ｉｎｖｅｎ＜０），则开始缺货。此后生产出的产品首先为高优先级队列中队首顾客补货。当此顾客缺货全部得到补足时，高优先级队列中顾客前移一位，再为此时的队首顾客补货，……。当高优先级缺货队列中缺货全部得到补足时，开始为低优先级缺货顾客补货。亦从低优先级缺货队列队首开始补货。
３．２ 仿真模型
离散－连续事件系统难以采用某种规范的形式，一般采用流程图来描述。
（１）本文仿真程序的主函数的流程为：
① 输入总仿真时间长度Ｔ，初始库存Ｉｏ０＜Ｉｏ＜ＩｎｖＫ－１，可调节的生产速率数目Ｋ，各个阶段库存临界点Ｉｎｖｉ，各阶段生产速率Ｖｉ，以及ｚ ｗ，ｃ，ｓ，ｈ，π，高优先级的比率ｇ，需求量和需求到达时间间隔的概率分布参数。
② 调用初始化函数，执行：ａ仿真时钟及各计数器置为０。ｂ库存Ｉｎｖｅｎ置为Ｉｏ，并判断库存所在的库存阶段ｋ以及确定生产速率Ｐ＝Ｖｋ。ｃ调用随机数产生函数，确定第一次需求到达事件（包括发生时间Ｔ１、需求量Ｄ和优先级Ｇｉ），并插入事件表。ｄ计算下次可能发生的减速事件发生时间ｔ＝Ｉｎｖｋ－ＩｎｖｅｎＰ。若ｔ＜Ｔ１，则将减速事件（包括该减速事件的其他两个参数：发生时的库存ＩｎｖＫ和减速后的速率Ｐ１）插入事件表；否则表示第一个需求事件发生在减速事件之前，故该减速事件不可能发生。
③循环执行下列操作：调用时序控制函数，其功能是：移出事件表中的第一个事件，其第二个参数即为该事件的类型，仿真时钟ｔｉｍｅ推进到该事件发生之时；根据事件类型调用相应的事件处理函数。再次调用时序控制函数，…，直到ｔｉｍｅ≥Ｔ时，结束循环。
④调用报告函数，计算最后一个事件至Ｔ之间发生的各项生产－库存费用的日均值，并计算两类顾客的提前期ｐｒｅ１＝ｓｕｍ１／ｎ１，ｐｒｅ２＝ｓｕｍ２ｎ２（其中ｓｕｍ１、ｓｕｍ２分别为两类顾客的总提前期，ｎ１、ｎ２分别为两类顾客的需求总次数）。
（２）更新函数：供事件处理函数调用，其功能是：根据Ｉｎｖｅｎ和Ｉｌａｓｔ变更下列统计计数器的值：Ｉ＋（ｔ）曲线下的面积ＡＰ（即Ｉ＋（ｔ）ｄｔ）、Ｉ－（ｔ）下的面积ＡＭ（即Ｉ－（ｔ）ｄｔ）和总生产量ＳＰ。ＳＰ变更为：
ＳＰ＝ＳＰ＋Ｉｎｖｅｎ－Ｉｌａｓｔ （７）
设△ＡＰ、△ＡＭ分别为ＡＰ和ＡＭ在ｔｌａｓｔ到ｔｉｍｅ之间增量（即Ｉ＋（ｔ）ｄｔ）和Ｉ－（ｔ）ｄｔ））则：
ＡＭ＝ＡＭ＋△ＡＭ ８
ＡＰ＝ＡＰ＋△ＡＰ ９
分以下三种情况来计算：
① 如果Ｉｌａｓｔ＞０且Ｉｎｖｅｎ≥０，此时：
△ＡＭ＝０ １０
△ＡＰ＝０．５Ｉｎｖｅｎ＋Ｉｌａｓｔｔｉｍｅ－ｔｌａｓｔ １１
△ＡＰ即图１中阴影部分面积。
②如果Ｉｌａｓｔ＜０且Ｉｎｖｅｎ≥０（如图２所示），因生产速率Ｐ即ｔｇθ，而△ＡＭ和△ＡＰ分别为图中的两个三角形的面积，故可得：
△ＡＭ＝Ｉｌａｓｔ２（２×Ｐ） １２
△ＡＰ＝Ｉｎｖｅｎ２（２×Ｐ） １３
③如果Ｉｌａｓｔ＜０，且Ｉｎｖｅｎ＜０，则：
△ＡＭ＝０．５｜Ｉｎｖｅｎ｜＋｜Ｉｌａｓｔ｜ｔｉｍｅ－ｔｌａｓｔ １４
△ＡＰ＝０ １５
（３）事件处理函数：对应于每一离散事件，其功能是改变状态变量的值，策划未来事件，变更计数器的值。本文的事件处理函数为：
① 需求到达事件函数。其流程见图３。需要说明的是：如果Ｉｌａｓｔ＜０，说明上次事件发生时，有顾客缺货，因此要调用计算提前期函数。如果Ｉｎｖｅｎ＜Ｄ，即目前库存不足以为此次需求供货，此时发生缺货，故需要计算缺货量Ｓｈｔ，即此次需求没有得到满足的量。如Ｐ＝０（表示处于停产阶段）且Ｉｎｖｅｎ＞Ｒｅｐｒｏ（表示库存减少后仍处于恢复生产点Ｒｅｐｒｏ之上），故系统仍处于停产阶段，生产速率不改变。
② 减速事件函数。其流程为：ａ如果Ｉｌａｓｔ＜０，调用计算提前期函数。ｂ按式（４）计算此时库存Ｉｎｖｅｎ；（ｃ）调用更新函数，根据该事件的第四个属性，确定此时生产速率Ｐ，并累计生产速率改变次数。（ｄ）策划可能发生的减速事件（见３．１节）。（ｅ）置ｔｌａｓｔ＝ｔｉｍｅ，Ｉｌａｓｔ＝Ｉｎｖｅｎ。
（４）计算提前期函数。每当需求到达事件或减速事件发生时，如果上次库存Ｉｌａｓｔ＜０（即有顾客等待补货），则调用计算提前期函数。
本文对缺货顾客的补货策略是：生产出的产品立即为缺货顾客补货，高优先级顾客优先得到补足。
该函数的流程为：
①置开始为队首顾客补货的时刻Ｔｉ＝ｔｌａｓｔ。
②如果高优先级缺货队列非空且Ｔｉ＜ｔｉｍｅ（表明在当前时刻ｔｉｍｅ之前已到了开始为队首顾客补货的时刻Ｔｉ），则执行下列循环：ａ计算队首顾客的缺货得到补足的时刻Ｔｄ＝Ｔｉ＋ＳｈｔＰ，（Ｓｈｔ为缺货量，ＳｈｔＰ即该顾客缺货全部得到补足所需要的时间）。ｂ如果Ｔｄ≤ｔｉｍｅ，表示此时该顾客缺货已全部得到补足，则取出队首顾客，该队列中其他顾客依次前移一位。置此时队首顾客开始补货的时间Ｔｉ＝Ｔｄ，并累加高优先级的总提前期：
ｓｕｍ１＝ｓｕｍ１＋Ｔｄ－ｔａｒｒｉｖｅＤ （１６）
其中 Ｄ为此次补货顾客的需求量。否则（即如果Ｔｄ＞ｔｉｍｅ），表示此时该顾客的缺货尚未全部得到补足，而在Ｔｉ至ｔｉｍｅ时间内生产量为ｔｉｍｅ－Ｔｉ×Ｐ，因此此时队首顾客的缺货量Ｓｈｔ降至Ｓｈｔ－ｔｉｍｅ－Ｔｉ×Ｐ，同时置Ｔｉ＝ｔｉｍｅ。
③按相同方法处理低优先级缺货队列。
（５） 随机数产生函数
①抽样产生顾客优先级：因为ｇ是高优先级顾客的概率，故当ｒ＜ｇ时（ｒ为０－１区间内均匀分布的随机数），则为高优先级；否则为低优先级。
②本文设需求到达的时间间隔服从平均值为ｒｍｅａｎ的指数分布，其分布函数为：
Ｆ（ｘ）＝１－ｅ－１７
根据逆变换法产生连续分布的随机变量的方法６，解方程 ｘ＝Ｆ－１（ｒ），可得到服从指数分布的随机数：
ｘ＝－ｒｍｅａｎ×ｌｎ（１－ｒ）１８
因为１－ｒ也是０－１区间内均匀分布的随机数，故上式（１８）也可以简化为：
Ｘ＝－ｒｍｅａｎ×ｌｎ（ｒ）１９
③本文设需求量是离散型均匀分布随机变量，其密度函数为：
Ｐ（ｘｉ）＝１Ｎ （ｉ＝１，２，…，Ｎ）２０
其分布函数为：
Ｆ（ｘｉ）＝ｉＮ（２１）
逆变换法产生离散随机变量的方法是计算满足下式的ｘｋ值ｘｋ即为所求的随机数：
Ｆ（ｘｋ－１）＜ｒ≤Ｆ（ｘｋ）（２２）
把２１式代入２２式，解不等式得：
Ｎｒ≤ｋ＜Ｎｒ＋１２３
即：Ｋ＝Ｎｒ＋１（２４）
其中 表示舍去小数取整数。因此所求随机变量：
ｘｋ＝ｘＮｒ＋１２５
４ 仿真结果
本仿真程序用面向对象的软件开发工具ｖｃ ６．０编制。设企业各阶段的生产速率为已知，以临界库存（即Ｉｎｖ０Ｉｎｖ１ ＲｅｐｒｏＩｎｖ２）为决策变量（即表１中第一列“策略”中的４个数字），各项库存费用和提前期为目标变量，取Ｔ＝２ ０００；ｋ＝３；Ｉｏ＝５；ｈ＝１；π＝４；ｚ＝１０；ｃ＝２０；ｇ＝０．５；产生需求量的概率分布参数为：ｒｍｅａｎ＝２，Ｎ＝５，ｘ１＝５ ｘ２＝１０ ｘ３＝１５ ｘ４＝２０，ｘ５＝２５； 各阶段的生产速率为：ｖ０＝２，ｖ１＝４，ｖ２＝７。以输入下列四组不同的生产－库存策略为例，所得仿真结果见表１。
从表１中可以看出，策略４的费用最少，而策略１的提前期最小。这就需要企业根据顾客对提前期的要求，来决定最佳策略，如果高优先级顾客要求平均提前期不超过０．０３３（即当一天内需求量小于３０时，平均而言当天可以得到满足），则只有策略１和策略３符合要求，明显策略３总费用少，因此策略３为四组中最好的策略。
５ 结束语
本文基于系统仿真原理，建立了生产速率可调、顾客有不同优先级的生产－库存系统的仿真模型，并开发了相应的仿真程序，可得到库存总费用和两类优先级顾客的提前期，为制造商作出科学的生产和库存决策提供了有效的工具。在实际应用中，可根据需求量和需求到达时间间隔的观察数据，得到这些随机变量的概率分布，从而编写相应的随机数产生子函数，来代替本文中的指数分布和离散均匀分布的随机数产生子函数。
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